Arbeit in der Schweiz
Mit der Arbeit in der Schweiz wirst du dort grundsätzlich versicherungspflichtig. Du kannst dich innerhalb von drei Monaten nach der Grenzgängerbewilligung davon befreien lassen. Dann versicherst du dich in Deutschland, gesetzlich oder privat. Für die private Lösung zählt, dass der Tarif eine Behandlung in der Schweiz ohne Kürzung erstattet.
Arbeit in Luxemburg, den Niederlanden oder Österreich
Hier bist du meist im Beschäftigungsland versichert und kannst dich über ein Formular auch in Deutschland behandeln lassen. Private Tarife kommen vor allem als Ergänzung in Frage.
Nicht jede Gesellschaft nimmt Grenzgänger an
Manche nehmen nur bestimmte Wohnorte an, manche nur bestimmte Tarife, und manche keine Verträge, die absehbar nur kurz laufen, etwa bei einem befristeten Arbeitsvertrag.
Welche Gesellschaft dich nimmt und welcher Tarif passt, frage ich für dich ab.
Unverbindliche Information, keine Rechts- oder Steuerberatung.